¿Cuál es el valor de k, que hace
de los siguientes vectores, vectores linealmente dependientes?
U = (3,
k, -6)
V = (-2,
1, K+3)
W = (1,
K+2, 4)
En el caso de vectores linealmente dependientes se
tiene que el determinante 
es igual a cero.
Calculamos el valor del determinante y su resultado lo igualamos a cero para despejar el valor de k. El valor del determinante no se altera al intercambiar la posición de los renglones. Entonces, tenemos en el primer renglón al vector (1, k+2, 4). Al tener como primera componente al 1, nos facilita el cálculo del valor del determinante.
Utilizaremos
los elementos del primer renglón para calcular el valor del determinante.
Para el elemento 1, localizado en el
primer renglón de la primera columna, el determinante se forma eliminando los
elementos correspondientes en el primer renglón y la primera columna.
El determinante se construye con los
elementos que no son eliminados. Consideremos el factor (-1) i + j con i igual al número de renglón y j igual al número de
columna, que multiplica al determinante.
Para el elemento (k + 2) localizado en el primer renglón
segunda columna.
El determinante se construye con los elementos que no
son eliminados, como se aprecia en la imagen. Consideremos el factor (-1) 1 + 2, con 1 el número de renglón
y 2 el número de columna, que multiplica al determinante.
= (-1)[3 – 3k] = -3 + 3k = 3k – 3.
Para el elemento 4 localizado en el primer renglón tercera columna.
El determinante se construye con los elementos que no
son eliminados, como se aprecia en la imagen. Consideremos el factor (-1) 1 + 3, con 1 el número de renglón
y 3 el número de columna, que multiplica al determinante.
Con los cálculos parciales de los tres determinantes
de 2X2, obtendremos el valor del determinante, mostrado al inicio del texto del
ejemplo. Consideremos el valor de los elementos en el primer renglón.
= -6 – k2 – 3k + 3k2 + 6k – 3k
-6 – 8k – 12 = 2k2 – 8k – 24 = 0
2k2 – 8k – 24 = 0. Dividimos cada entre
dos.
k2 – 4k – 12 = (k + 2)(k – 6) = 0
Los
valores de k = -2 o k = 6, hacen que el
determinante 
sea igual a cero. Comprobación:
Sustituimos
el valor de k = -2, en el determinante. Utilizamos la regla de Sarrus para
calcular su valor.
=
[(1)(1)(-6)+ (-2)(-2)(4) + (0)(1)(3)] – [(3)(1)(4) + (1)(1)(-2) + (-2)(0)(-6)]
= [ -6 + 16 + 0] – [12 – 2 + 0]
=
[10] – [ 10] = 0.
Un
procedimiento similar nos mostrará que sustituyendo el valor k = 6, el valor
del determinante es cero.
