Sistemas de Ecuaciones Líneales

Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Expresión simbolizando los elementos que la conforman.

La correspondiente matriz de componentes, del sistema lineal.

El vector correspondiente de elementos independientes del sistema.

La representación del sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial.

 

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales

2x  -  3y  +  z  =  1

- x  +  3y  +  2z  =  -2

x  +  2y  -  3z  =  5

Se simboliza como

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1.- El método gráfico es utilizado para, que de manera visual, identificar los puntos  para los cuales las rectas se intersectan.

2.-El método de Gauss-Jordan, es utilizado para discriminar, en el siguiente sistema lineal,

 las ecuaciones dependientes.

Y = - 2x – 4

Y + 4 = -2x

Procedimiento de solución:

Reorganizamos nuestro sistema lineal

2x  + y = – 4

2x  + y = - 4

La matriz correspondiente al sistema de ecuaciones es

 
 

Aplicamos operaciones en los renglones de la matriz mostrada.

Renglón dos menos el renglón uno, afectando los valores en el renglón dos: ( R₂ - R₁) -> R_2. Obtenemos

 

Al eliminar el renglón de ceros, de la matriz, obtenemos una matriz con un solo renglón

 

Conclusión: Las dos ecuaciones lineales del sistema, son exactamente la misma recta.

En la gráfica, lo que obtenemos es una recta que representa a ambas ecuaciones.

Es una recta sobre otra.

Las rectas de cruzan en una cantidad infinita de puntos

3.- Utilizando el método gráfico para visualizar que la gráfica de dos ecuaciones lineales idénticas son la misma recta, y tienen todos los puntos como solución.

 

4.- Identificamos el punto de intersección de las rectas por medio del método gráfico. Las rectas se intersectan en el punto (x = -1, y = -1). Llamado solución del sistema.

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas:       Solución: Para la solución utilizaremos el Método de eliminación por sumas y restas. Consideremos las ecuaciones (a) y (b). En la ecuación (b) multiplicamos por dos, cada uno de los términos. La primera ecuación permanece idéntica.     Sumamos las ecuaciones, obtenidas, (a) y (d).                5X        = 10. Despejando el valor de la variable X, obtenemos             X = (10/5) = 2. Tomamos ahora las ecuaciones (b) y  (c). La ecuación (b) no tiene cambios. En la ecuación (c) multiplicamos por (-2), cada uno de los términos.     Sumamos las ecuaciones, obtenidas, (b) y (e).       -7Y     = -7. Despejando el valor de la variable Y, obtenemos Y = 1. La solución para el sistema es X = 2, Y = 1. ............................................................................................................................................... Resolver el siguiente sistema indeterminado consistente de ecuaciones lineales, con dos ecuaciones tres incógnitas.     Solución: Para la solución utilizaremos el Método de eliminación por sumas y restas.Partiremos de las ecuaciones del sistema.       Despejamos la variable Z al lado izquierdo de las ecuaciones.     Multiplicaremos, la ecuación (a) por dos y la ecuación (b) por tres.       Al sumar la s dos ecuaciones se eliminan (6y) con (-6y).     7X = 14 +7z. Despejando el valor de la variable X, obtenemos: X = (14 + 7z)/7. Dividiendo entre 7 cada uno de los términos, obtenemo X = 2 + z.    Sustituimos el valor X = 2 + z, en alguna de las primeras ecuaciones. Por ejemplo en la ecuación (a). (a)       2x  -  3y  =  -2 - z Obtenemos: 2(2 + z)  -  3y  =  -2 – z Continuamos las operaciones. 4 + 2z  -  3y  =  -2 – z Despejamos el término de la variable “y”. -3y = -2 – z – 4 – 2z -3y = -6 -3z. Multiplicamos cada uno de los términos de la igualdad por (-1). Obtenemos: 3y = 6 + 3z                         Y = (6 + 3z)/3. Dividimos cada uno de los términos por el número tres                         Y = 2 + z. La solución del sistema de ecuaciones con dos ecuaciones tres incógnitas es: X = 2 + z  Y = 2 + z. Comprobación de la solución. Sustituimos los valores X =(2 + z), Y =(2 + z), en las ecuaciones originales correspondientes al sistema. Ecuación uno: 2x  -  3y  +  z                          =2(2 + z) – 3(2 + z ) + z = 4 + 2z – 6 – 3z + z = -2 -z + z = -2. Comprobada la primera ecuación.                         Ecuación dos: x  +  2y  -  3z                         = (2 + z) + 2(2 + z) – 3z                         = 2 + z + 4 + 2z – 3z                         = 6 +3z – 3z                         =6. Comprobada la segunda ecuación. .............................................................................................................................................                      Solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando el Método de Gauss-Jordan Ilustraremos el procedimiento de solución, en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, llamado Método de Gauss-Jordan. El procedimiento de solución a través del Método de Gauss- Jordan, se aplica a la matriz de coeficientes asociada al sistema. Realizar operaciones en los renglones de la matriz asociada, teniendo como propósito transformar la matriz asociada en una matriz que contenga únicamente unos en la diagonal principal y el resto de los coeficientes en ceros. El procedimiento de solución: Identificamos, en la matriz de coeficientes, tres renglones. R1  =  (2,  6, 1) R2  =  (1,  2, -1)  R3  =  (5,  7,  -4) Así como tres columnas. 1.-Una propiedad de las operaciones en los renglones de la matriz es la de intercambiar los renglones. Lo que buscamos es obtener una matriz con unos en la diagonal principal. La nueva identificación para los renglones es la siguiente R1  =  (1,  2, -1) R2  =  (2,  6, 1)  R3  =  (5,  7,  -4) 2.-Transformamos el renglón R2 a través de la siguiente operación: El renglón dos menos el doble del renglón uno: R2 – 2R1 -> R2. 3.-Transformamos el renglón R3 a través de la siguiente operación: El renglón tres menos cinco veces el renglón uno: R3 – 5R1 -> R3. 4.-Transformamos el renglón uno a través de la operación: El renglón uno menos el renglón dos: R1 – R2 -> R1. 5.-Transformamos el renglón tres a través de la operación: El renglón tres más (3/2) del renglón dos:  R3 + (3/2)R2 -> R3. Especificación de las operaciones (0,  -3,  1) +  (3/2)(0,  2,  3) = (0,  -3,  1) + ( 0, 6/2,  9/2) = ( 0,  -3,  1) + (0,  3,  9/2) = (0+ 0,  -3+3,  1 + 9/2). Obtenemos que el tercer renglón es igual a (0, 0, 11/2). 6.-Multiplicamos por dos el renglón R3, También multiplicamos por (1/2) el renglón R2. 7.-Multiplicamos por (1/11) el renglón R3. 8.-Transformamos el renglón uno: al renglón R1 se le suma el resultado de 4 veces el renglón tres. 9.-Transformamos el renglón dos: al renglón dos se le resta (3/2) del renglón tres. R2  - (3/2)R3. La representación del sistema lineal, correspondiente a la matriz. x +  0  +  0   =  10 0 +  y  +  0   =  -3 0 +  0  +  z   =  5 La solución del sistema x  =  10, y  =  -3, z  =  5. La comprobación de la solución se lleva a cabo sustituyendo los valores para x, y, z, en las ecuaciones lineales. 2(10)  +  6(-3)  +  5  =  7 10  +  2(-3)  -  5  =  -1 5(10)  +  7(-3)  -  4(5)  =  9
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