Vectores Linealmente Independientes

Espacio generado

Se llama vector v de dimensión n n {\displaystyle n\,} a una secuencia de números reales (n {\displaystyle n\,} que se llaman componentes del vector), colocados dentro de un paréntesis: v = (a₁, a₂, a₃, . . . , a_{n - 2}, a_n-1, a_n). El conjunto de todos los vectores de dimensión n n {\displaystyle n\,} se representa como Rⁿ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (formado mediante el producto cartesiano). La secuencia w = (3, -1) es un vector en R² ; la secuencia u = (1, 3, -1) es un vector en R³.

Desde el punto de vista gráfico, un vector consta de tres características:

• El módulo es la longitud del segmento.
• La dirección θ es la inclinación de la recta donde está representado el segmento.
• El sentido es la orientación del segmento.

Un vector w se puede definir por sus coordenadas, para vectores en R², la representación es: w = ( w_x, w_y ). Siendo w_x su coordenada sobre el eje X. Siendo w_y su coordenada sobre el eje Y. 

Para un vector w en R³, su representación es w = ( w_x, w_y, w_z ). Para lo cual w_x es su coordenada sobre el eje X, w_y es su coordenada sobre el eje Y, w_Z es su coordenada sobre el eje Z.

Imagen del vector v = (3,4,1), en el espacio

Operaciones con vectores.

Ejemplo: La suma de vectores en R² y el producto por escalar.

El vector (7, 7) es una combinación lineal de los vectores (2, 3) y (3, 1):

(7, 7) = 2(2, 3) + (3, 1). Con las operaciones de producto por escalar y suma de vectores.

Ejemplo: La resta de vectores en plano (R²) y el producto por escalar.

El vector (-2, 4) es una combinación lineal de los vectores (2,3) y (3,1). La relación se presenta de la manera siguiente:

(-2, 4) = 2(2,3) – 2(3,1). La siguiente gráfica ilustra la relación que existe entre ellos.

Comprobaremos que los vectores (2,3) y (3,1) son linealmente independientes, utilizando el método de Gauss-Jordan.

a(2,3) + b(3,1) = (0,0). Llevaremos a cabo la operación de producto por escalar y suma de vectores.

(2a, 3a) + (3b, b) = (0,0)

(2a + 3b, 3a + b) = (0,0). Igualando ambos lados de la ecuación, tenemos que:

Para los valores de a = 0 y b = 0, son los únicos parta los cuales se cumple que

a(2,3) + b(3,1) = (0,0).

Resultados:

Dos vectores (x₁, y₁), (x₂, y₂) linealmente independientes, generan a todo vector en el plano R². Y de forma equivalente, tenemos que tres vectores (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃,z₃) linealmente independientes, generan a todo vector en el espacio R³.

¿Son los vectores (1,-1), (1, 0), (0,2) un generador para el plano R²?

 

que se transformó en (0,0) es un vector linealmente dependiente de los vectores (1, -1), (1,0).

Los vectores (1, -1), (1,0) son linealmente independientes y generan a todo vector en R².

Ejercicio. ¿Cuáles son los valores de a, b y c, para que los vectores {(1,-1), (1, 0), (0,2)} sean generadores del espacio R²?

Como se probó anteriormente, tenemos que {(1,-1), (1, 0)} son linealmente independientes. Luego, entonces (x, y) = a(1, -1) + b(1, 0) + c(0, 2), con c = 0, debido a que el vector (0, 2) es linealmente dependiente de {(1,-1), (1, 0)}.

Procedimiento para encontrar los valores a,b:

(x, y) = a(1, -1) + b(1, 0)

(x, y) = (a, -a) + (b, 0)

(x, y) = (a + b,  -a +  0)

(x, y) = (a + b, -a)

X = a + b

Y = -a

Resultado del procedimiento para encontrar los valores de a y b.

a = - y.

x = a + b

x = -y + b.

b = (x + y).

Daremos valores para ilustrar el resultado: ¿Cómo generar el vector (5, -3) utilizando los vectores generadores {(1,-1), (1, 0)}? El vector (5, -3) tiene como valores x = 5, y = -3. Entonces

a = -y = - (-3) = 3

b = ( x + y) = (5 + (-3)) = 2.

Sustituyendo valores tenemos que (5, -3) = a(1, -1) + b(1, 0) = 3(1, -1) + 2(1, 0) = (3 + 2, -3) = (5, -3).

Determinar si el vector (1,0,4) es combinación lineal de (1,0,1),(0,0,2).

Solución: Utilizaremos la propiedad de los determinantes. El valor del determinante constituido con los vectores, es igual a cero en el caso de vectores linealmente dependientes. Su valor es distinto de cero para vectores linealmente independientes.

Se comprueba que los vectores {(1,0,4) (1,0,1),(0,0,2)} son linealmente dependientes. Entonces

(1, 0, 4) es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 1), (0, 0, 2). ¿Cuál es la forma en la cual se relacionan los vectores (1, 0, 1), (0, 0, 2) con el vector (1, 0, 4).

Solución:

a(1, 0, 1) + b(0, 0, 2) = (1, 0, 4)

(a, 0, a) + (0, 0, 2b) = (1, 0, 4). Sumando las componentes correspondientes, obtenemos

(a + 0, 0 + 0, a + 2b) = (1, 0, 4). Igualando las componentes correspondientes, obtenemos

a = 1

0 = 0

a + 2b = 4. Resolveremos para el valor de b utilizando el valor a = 1.

1 + 2b = 4.

2b = 4 -1 = 3

b = 3/2.

Tenemos la combinación buscada: (1, 0, 4) = (1)(1, 0, 1)+(3/2)(0, 0, 2)= (1, 0, 1)+(0, 0, 3) =(1,0,4).

Determinar los valores de k para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes.

u = (0, 1, k)

v = (k, 0, 0)

w = (0, 2k + 1, 1)

={0 + (2k³ + k²) + 0} – {0 + 0 + k} = 2k³ + k² – k = 0. Resolveremos la ecuación

2k³ + k² – k = k(2k² + k – 1) = 0. El valor k = 0, resuelve la ecuación 2k³ + k² – k = 0.

Ahora resolvemos 2k² + k – 1. Utilizamos la solución general de la cuadrática:

El conjunto de vectores { (0, 1, k), (k, 0, 0), (0, 2k + 1, 1)} es linealmente dependiente en los casos en los que el valor de k es igual a 0, o es igual a 1/2 , o es igual a -1.

Analice la solución de la siguiente operación con vectores

a(1, 0, 0) +b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0) ¿Cuál son los valores de a, b, c ? Explique cuál es el significado del resultado que se obtenga.

Solución. a(1, 0, 0) +b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

(a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (0, 0, 0). Sumando las componentes correspondientes de los vectores, tenemos: (a+0+0, 0+b+0, 0+0+c) = (0, 0, 0)

(a, b, c)  = (0, 0, 0).

Dos vectores son iguales, cuando las componentes correspondientes son iguales. Entonces tenemos que a = 0, b = 0 y c = 0.

El significado de que a, b y c = 0, en la combinación lineal

a(1, 0, 0) +b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0), es que los vectores que participan en la combinación

{(1, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 0, 1)} son linealmente independientes.

De haberse dado el caso de que algunos valores para a, b ,c, fueran diferentes de cero en la combinación lineal a(1, 0, 0) +b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0), tendríamos que los vectores en el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 0, 1)} son linealmente dependientes.