Solución
de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el
Método de Gauss-Jordan
Ilustraremos la
aplicación del Método de Gauss-Jordan, ahora encontrando la solución del
sistema.
3x +
y = 11
-x +
3y = 3
4x +
2y = 16.
Identificamos la
matriz de coeficientes de las incógnitas y el vector de valores independientes,
del sistema de ecuaciones lineales.
Consideremos
que la matriz Gauss-Jordan de coeficientes, consta de valor 1, en cada posición
de la diagonal principal y cero en el resto de las posiciones.
En búsqueda de obtener una matriz de Gauss-Jordan a partir de nuestra matriz de coeficientes, intercambiamos las posiciones del renglón uno por la posición del renglón dos.
En búsqueda de obtener una matriz de Gauss-Jordan a partir de nuestra matriz de coeficientes, intercambiamos las posiciones del renglón uno por la posición del renglón dos.
1.-Transformación de la matriz de
coeficientes: al renglón dos le sumamos el triple del renglón uno:
R2
+ 3R1 -> R2.
Obtenemos la siguiente matriz.
2.-Transformación de la matriz de coeficientes: al renglón tres le sumamos el renglón uno multiplicado por cuatro: R3 + 4R1 -> R3. Obtenemos la siguiente matriz.
Multiplicamos
por (1/10) cada uno de los valores del renglón dos: (1/10)R2 -> R2.
Así también multiplicamos por (1/14) cada valor que aparece en el renglón tres:
(1/14)R3
-> R3. Obtenemos la siguiente matriz.
De la matriz anterior eliminamos uno de los
renglones que aparecen idénticos. Obtenemos la siguiente matriz correspondiente
al sistema lineal planteado originalmente.
La representación como
sistema lineal de la matriz anterior es
-x +
3y = 3
0 +
y = 2
La solución del sistema
es y =
2, x = 3.
Solución
de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando el
Método de Gauss-Jordan.
Matriz de coeficientes del
sistema.
Una aplicación,
del Método de Gauss-Jordan, para encontrar la solución del sistema.
2x - y +
3z = 1
3x + 2y -z
= 5
Escribimos
la matriz de coeficientes de las incógnitas y el vector de valores
independientes.
Buscamos
obtener una matriz de Gauss-Jordan a partir de nuestra matriz de coeficientes,
1.-Transformación de la matriz de
coeficientes: al renglón dos le restamos el renglón uno:
R2 - R1
-> R2. Obtenemos la siguiente matriz.
Intercambiamos
los renglones uno y dos.
2.-Transformación de la matriz de
coeficientes: al renglón dos le restamos el doble del renglón uno: R2 - 2R1
-> R2. Obtenemos la siguiente matriz.
Multiplicamos
por (1/7) cada uno de los valores del renglón dos: (1/7)R2 -> R2.
Obtenemos
la siguiente matriz.
Multiplicamos por (-1) cada uno de los valores
del renglón dos: (-1)R2 -> R2.
3.-Transformación de la matriz de
coeficientes:
al renglón uno le restamos el triple del renglón dos: R1 - 3R2
-> R1. Obtenemos la siguiente matriz.
La
representación como sistema lineal de la matriz anterior es
x + 0 +
(5/7)z = 1
y -
(11/7)z = 1
La
solución del sistema es
x = 1 - (5/7)z
y
= 1 + (11/7) z
Considerando
que el sistema consiste en tres variables y dos ecuaciones, entonces contamos
con la variable libre z. La cual puede tomar valores libremente.
Para
la comprobación de la solución, daremos a z el valor de uno, entonces x = 1-
(5/7) = 2/7. El valor de y = 1 + (11/7) = (18/7).
Sustituyendo
los valores de las variables en las ecuaciones del sistema.
2(2/7) - (18/7) + 3(1) = 4/7
– 18/7 + 3 = 1
3(2/7) + 2(18/7) -1
= 6/7 + 36/7 – 1 = 5
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El
grupo minero “México”, extrae mineral de tres minas en el estado de Zacatecas. Identificaremos
a las minas con las etiquetas 1,2 y 3. De cada tonelada de material extraído de
la mina 1, se obtiene 1% de níquel, 2% de cobre y 5% de estaño. En la mina 2,
cada tonelada de material extraído contiene 2% de níquel, 5% de cobre y 7% de
estaño. De la mina 3, se obtiene, por cada tonelada de material extraído, 7% de
níquel, 1% de cobre y 3% de estaño. ¿Cuál es la cantidad de mineral que debe
ser extraído de cada mina, para obtener el total, 4 ton. de níquel, 9 ton. de
cobre y 13 ton. de estaño?
Asignaremos
las literales que se emplearán.
x = cantidad de
ton de material que se extrae de la mina 1.
y = cantidad de
ton de material que se extrae de la mina 2.
z = cantidad de
ton de material que se extrae de la mina 3.
Proceso de solución.
Puesto
que los minerales se obtienen del material extraído de las tres minas, las
ecuaciones del sistema de producción minera son.
Ecuación para la
extracción del níquel: (0.01)x + (0.02)y
+ (0.07)z = 4
Ecuación para la
extracción del cobre: (0.02)x + (0.05)y
+ (0.01)z = 9
Ecuación para la
extracción del estaño: (0.05)x + (0.07)y
+ (0.03)z = 13.
Con el propósito
de eliminar los valores decimales en los coeficientes, multiplicamos cada
término en las ecuaciones por 100. Obtenemos.
x + 2y + 7z = 400
2x + 5y + z = 900
5x + 7y + 3z = 1300
Podemos optar por
resolver el siguiente sistema.
x
+ 2y +
7z = 4
2x +
5y + z
= 9
5x +
7y + 3z
= 13, no obstante al obtener los
valores para las literales x, y, z, debemos multiplicar estos valores por 100,
debido a que los valores reales 400, 900
y 1300 los evitamos.
En la solución del
sistema utilizaremos el método de Gauss-Jordan.
Método de
Gauss-Jordan.
1.-Transformación
del renglón dos: al renglón dos, le restamos el doble de los elementos
correspondientes en el renglón uno. R2 – 2R1 -> R2.
2.-Transformación
del renglón tres: al renglón tres, le restamos los elementos correspondientes
en el renglón uno, multiplicados por cinco: R3 – 5R1
-> R3.
3.-Transformación
del renglón tres: al renglón tres, le sumamos el triple de los elementos
correspondientes en el renglón dos: R3 + 3R2 -> R3.
4.-Transformación
del renglón uno: al renglón uno, le restamos el doble de los elementos
correspondientes en el renglón dos: R1 – 2R2 -> R1.
5.-Multiplicamos
los elementos correspondientes en el renglón tres por (-1).
6.-Multiplicamos los elementos correspondientes en el
renglón tres por (1/71).
7.-Multiplicamos los elementos correspondientes en el
renglón tres por (13) y sumarlos al renglón dos:
R2 + 13R3 -> R2..
8.-Multiplicamos los elementos correspondientes en el
renglón tres por (33) y restamos al renglón
uno: R1 - 33R3 -> R1..
La solución
X=(10/71) = 0.1408
Y=(123/71) = 1.732 Z=(4/71) = 0.05633Considerando que al sistema de ecuaciones las igualdades las dividimos entre 100, (Ver el renglón identificado con *, en el procedimiento. Ahora se los regresamos multiplicando el resultado por 100:
Solución
X = 14.08 toneladas que se extraen de la mina 1, Y = 173.23 toneladas que se extraen de la mina 2, Z = 5.63 toneladas que se extraen de la mina 3.
