Gráfica del punto (2,5, 1.5) y la recta que pasa
por el punto con dirección (3, 4, 5).
Dados el vector w=(3, 4, 5 ) y el punto P(2, 5, 1.5), nos proponemos hallar
la ecuación de la recta Q(x, y, z), que pasa por el punto P y es paralela al
vector w.
La diferencia Q(x, y, z) – P(2, 5, 1.5) es un múltiplo del vector w:
Q(x, y, z) – P(2, 5, 1.5) = kw. La constante k es un número que pertenece a los reales.
Q(x, y, z) – P(2, 5, 1.5) = k(3, 4, 5). Despejando el valor de Q(x, y, z).
A la siguiente expresión se le conoce como forma vectorial de la recta.
Q(x, y, z) = P(2, 5, 1.5) + k(3, 4, 5)
La forma paramétrica de la recta, se obtiene al sumar las respectivas
componentes.
x = 2 + 3k
y = 5 + 4k
z = 1.5 + 5k
Ecuación del plano que pasa por tres
puntos.
Tenemos
un plano que pasa por los siguientes puntos
P1(x1, y1, z1)
P2(x2, y2, z2)
P3(x3, y3, z3)
Un
punto cualquiera perteneciente al plano lo representamos como P(x, y, z).
Considerando
que con dos puntos construimos un vector, entonces obtenemos lo siguiente:
Como los tres vectores en el
plano, mostrado en la figura, son linealmente dependientes, puesto que dos de
ellos generan al tercero. Se cumple que el valor del determinante conformado
por las componentes de los tres vectores es cero.
El determinante del sistema
Ejemplo,
¿Cuál es la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(3, 1, 2),
P2(1, 2, 1), P3(1, 3, 4)?
Sustituyendo
valores en el determinante, obtenemos
Ahora
procedemos a calcular el valor de nuestro determinante, utilizando la fórmula
de Sarrus.
{(x
- 3)(1)(2) + (-2)(2)(z – 2) + (-1)(-2)(y – 1)} – {(-2)(1)(z – 2) + (2)(-1)(x
-3) + (-2)(2)(y-1)}
=
{2(x -3) -4(z - 2) + 2(y-1)} – {-2(z- 2) – 2(x-3) -4(y-1)}
=
2(x – 3) -4(z – 2) + 2(y – 1) + 2(z - 2) + 2(x -3) + 4(y – 1)
=
4(x – 3) + 6(y – 1) – 2(z – 2) = 4x + 6y –2z - 12 - 6 + 4 = 0
La solución del plano es igual a 4x + 6y – 2z – 14 = 0
Como
la ecuación del plano está igualada a cero no afecta si dividimos cada término
entre dos.
Obtenemos
la solución del plano 2x + 3y – z – 7 = 0
